Tutkitaan sääntöä $f$, joka liittää jokaiseen luonnolliseen lukuun sen numeroiden summan. Siis esimerkiksi lukuun $156$ sääntö $f$ liittää luvun $1 + 5 + 6 = 12$. Tämä voidaan merkitä $$f(156) = 1 + 5 + 6 = 12.$$

1. Minkä luvun sääntö $f$ liittää lukuun $389$? Toisin sanottuna, mikä on $f(389)$?
2. Minkä luvun sääntö $f$ liittää lukuun $106\,437$? Toisin sanottuna, mikä on $f(106\,437)$?
3. Onko olemassa jokin luonnollinen luku, jonka tapauksessa säännön $f$ antamaa tulosta ei voida laskea? Selitä omin sanoin.
4. Onko olemassa jokin luonnollinen luku, johon sääntö $f$ liittää useita eri lukuja? Selitä omin sanoin.

Tutkitaan sääntöä $g$, joka liittää jokaiseen kaksinumeroiseen luonnolliseen lukuun sen numeroiden erotuksen käänteisluvun. Siis esimerkiksi lukuun $36$ sääntö $g$ liittää luvun $$\frac{1}{3-6} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}.$$ Tämä voidaan merkitä $$g\left(36\right) = \frac{1}{3-6} = -\frac{1}{3}.$$

1. Minkä luvun sääntö $g$ liittää lukuun $94$? Toisin sanottuna, mikä on $g(94)$?
2. Minkä luvun sääntö $g$ liittää lukuun $77$? Toisin sanottuna, mikä on $g(77)$?
3. Onko olemassa jokin kaksinumeroinen luonnollinen luku, jonka tapauksessa säännön $g$ antamaa tulosta ei voida laskea? Selitä omin sanoin.
4. Onko olemassa jokin kaksinumeroinen luonnollinen luku, johon sääntö $g$ liittää useita eri lukuja? Selitä omin sanoin.

Tutkitaan sääntöä $h$, joka liittää jokaiseen murtolukumuodossa kirjoitettuun rationaalilukuun sen osoittajan ja nimittäjän summan. Siis esimerkiksi lukuun $\frac{42}{105}$ sääntö $h$ liittää luvun $42 + 105 = 147$. Tämä voidaan merkitä $$h\left(\frac{42}{105}\right) = 42 + 105 = 147.$$

1. Minkä luvun sääntö $h$ liittää lukuun $\frac{2}{4}$? Toisin sanottuna, mikä on $h\left(\frac{2}{4}\right)$?
2. Minkä luvun sääntö $h$ liittää lukuun $\frac{1}{2}$? Toisin sanottuna, mikä on $h\left(\frac{1}{2}\right)$?
3. Onko olemassa jokin rationaaliluku, jonka tapauksessa säännön $h$ antamaa tulosta ei voida laskea? Selitä omin sanoin.
4. Onko olemassa jokin rationaaliluku, johon sääntö $h$ liittää useita eri lukuja? Selitä omin sanoin.

Tarkastele vielä tehtävien 1-3 sääntöjä $f$, $g$ ja $h$.

1. Onko sääntö $f$ funktio? Selitä omin sanoin.
2. Onko sääntö $g$ funktio? Selitä omin sanoin.
3. Onko sääntö $h$ funktio? Selitä omin sanoin.
4. Valitse säännöistä $f$, $g$ ja $h$ yksi, joka on funktio. Mikä on sen määrittelyjoukko? Entä minkä lukujoukon voi valita sen maalijoukoksi? Keksi kaksi erilaista vaihtoehtoa maalijoukoksi.

Tarkastele alla olevia kuvia, joissa on kuvattu säännöt $\alpha$, $f$, $g$, $\beta$ ja $h$. Mitkä näistä säännöistä ovat funktioita joukosta $X$ joukkoon $Y$? Perustele omin sanoin.

Tarkastellaan funktiota $h(x) = -x^2-3x+1$.

1. Laske funktion $h$ arvo kohdassa $x = 2$. Toisin sanottuna laske, mitä on $h(2)$.
2. Kaksi opiskelijaa laski funktion $h$ arvon kohdassa $x = -4$. Opiskelija A laski seuraavasti: \begin{align*} h(-4) &= --4^2-3\cdot -4 + 1 \\ &= +4^2 + 12 + 1 \\ &= 16 + 12 + 1 = 29. \end{align*} Opiskelija B puolestaan laski näin: \begin{align*} h(-4) &= -(-4)^2 - 3\cdot (-4) + 1 \\ &= -16+12 + 1 = -3. \end{align*} Kumman lasku oli oikein?
3. Laske funktion $h$ arvo kohdassa $x = -\frac{1}{2}$.

Piirrä vihkoosi samanlainen koordinaatisto kuin alla ja merkitse siihen pisteet $(2,-1)$, $(-3,0)$, $(5,2)$, $(-4,1)$, $(1,0)$, $(6,3)$, $(-5,2)$, $(0,1)$, $(3,0)$, $(-6,3)$, $(-2,-1)$, $(4,1)$ ja $(-1,0)$. Millainen kuvio koordinaatistoon syntyy?

Tutkitaan vielä funktiota $f$, jolla $$f(x) = 2x + 1.$$

1. Täydennä alla oleva taulukko:

   Muuttujan arvo	Funktion arvo
   $x$	$f(x) = 2x + 1$
   $1$	$f(1) = $
   $7$
   $0$
   $-6$
   $a$
   $b$

2. Mikä seuraavista on funktion $f$ kuvaaja? Käytä päättelyssä apuna taulukkoa, jonka täydensit a-kohdassa.

   

3. Päättele kuvaajan avulla, millä muuttujan $x$ arvolla funktio $f$ saa arvon $0$. Toisin sanottuna etsi sellaiset luvut $x$, joilla $f(x) = 0$.

Millä reaaliluvuilla seuraavat funktiot ovat määriteltyjä? Kirjoita jokaiselle funktiolle määrittelyehto.

1. $f(x) = \dfrac{4}{x}$
2. $g(x) = \dfrac{-12}{x+9}$
3. $h(x) = \dfrac{6x+5}{2x-8}$

Tarkastele yllä olevaa kuvaajaa, joka esittää lämpötilaa ajan funktiona.

1. Mikä on ollut vuorokauden korkein lämpötila? Milloin se on saavutettu?
2. Mikä on ollut vuorokauden matalin lämpötila? Milloin se on saavutettu?
3. Millä aikavälillä lämpötila on ollut yli 20 astetta?
4. Millä aikavälillä lämpötila on ollut alle 16 astetta?

Alla on funktion $f$ kuvaaja. Päättele sen avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

1. Minkä arvon funktio saa kohdassa $x = -1$?
2. Mitä on $f(0)$?
3. Mitä on $f(2)$? Saako funktio $f$ tämän arvon jossain muussakin kohdassa kuin kohdassa $x = 2$?

Alla on näkyvissä funktioiden $f$, $g$ ja $h$ kuvaajat. Millä näistä funktioista

1. on tasan yksi nollakohta?
2. on useita nollakohtia?
3. ei ole yhtään nollakohtaa?

Alla on funktion $g$ kuvaaja. Päättele sen avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

1. Millä muuttujan $x$ arvolla funktio saa arvon $-2$?
2. Onko funktiolla yksi tai useampia nollakohtia? Mitä ne ovat?
3. Millä muuttujan $x$ arvolla $g(x) = 6$?
4. Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio $g$ saa arvon $g(4)$?

Havainnollista piirroksella lukusuoran välejä tai niiden yhdistelmiä

1. $-2 < x \leq 1$
2. $x < -3$
3. $x < 2$ tai $x > 4$.
4. Selitä omin sanoin, miksi ehdossa "$x \leq 0$ ja $x > 3$" ei ole järkeä.

Tarkastele alla olevaa funktion $f$ kuvaajaa. Millä muuttujan $x$ arvoilla

1. funktio saa arvon nolla, eli $f(x)=0$
2. funktion arvot ovat positiivisia eli $f(x)>0$
3. funktion arvot negatiivisia eli $f(x)<0$?

Anna vastaus edellä harjoiteltuja lukusuoran välin merkintöjä käyttäen tai selitä omin sanoin.

Tarkastele alla olevaa funktion $f$ kuvaajaa. Millaisia arvoja funktio saa eli mitä voit sanoa luvusta $f(x)$, jos

1. $-1\leq x\leq 2$
2. $x>0$
3. $x\leq 1$?

Anna vastaus edellä harjoiteltuja lukusuoran välin merkintöjä käyttäen tai selitä omin sanoin.

Tarkastele edelleen yllä olevaa kuvaa, jossa näkyvät funktioiden $f$ ja $g$ kuvaajat.

1. Saavatko funktiot $f$ ja $g$ saman arvon jossain muussakin kohdassa kuin kohdassa $x = a$? Missä?
2. Kumpi funktioista saa suuremman arvon kohdassa $x = 0$?
3. Kumpi funktioista saa suuremman arvon kohdassa $x = 1$?
4. Selitä omin sanoin, miten kuvaajista näkyy se, että jollakin muuttujan $x$ arvolla funktion $g$ arvot ovat pienempiä kuin funktion $f$ arvot eli $g(x) < f(x)$.

Perehdy oman teknisen apuvälineesi käyttöön esimerkiksi opetus.tv:n opetusvideoiden avulla. Ne löytyvät osoitteesta opetus.tv -> työkalut -> valitse oma laskimesi -> funktiot ja kuvaajat. Harjoittele oman laitteesi käyttöä tekemällä seuraavaa:

1. Piirrä funktion $f(x)=2x-1$ kuvaaja.
2. Määritä kuvaajasta funktion $f$ nollakohta tai nollakohdat.
3. Määritä laskimen laskinsovelluksen puolella funktion arvo, kun $x=4$.
4. Piirrä samaan kuvaan funktion $g(x)=-x^2+4x+2$ kuvaaja.
5. Määritä piirtämäsi kuvan avulla ne kohdat, joissa funktiot $f$ ja $g$ saavat saman arvon. Luettele kaikki tällaiset kohdat sekä niitä vastaavat funktioiden arvot.
6. Määritä laskinsovelluksen avulla avulla ne kohdat, joissa funktiot $f$ ja $g$ saavat saman arvon, eli ratkaise yhtälö $f(x)=g(x)$. Saatko saman tuloksen kuin edellisessä kohdassa?
7. Määritä funktioiden $f$ ja $g$ leikkauspisteiden $y$-koordinaatit määrittämällä jommankumman funktion arvo edellisessä kohdassa selvitetyillä muuttujan $x$ arvoilla.

1. Piirrä funktion $f(x)=\sqrt{x}$ kuvaaja.
2. Millaisia arvoja funktio $f$ saa?
3. Millä muuttujan $x$ arvoilla funktio on määritelty, eli millaisilla luvuilla $x$ funktion kuvaaja on näkyvissä?

1. Piirrä laskimellasi samaan kuvaan funktioiden $f(x)=0{,}5x + 1$, $g(x) = 2x+1$ ja $h(x) = -x+1$ kuvaajat.
2. Mitä yhteistä näiden funktioiden kuvaajilla on? Entä mitä eroa niillä on?
3. Kaikki tämän tehtävän funktiot ovat muotoa $x \mapsto ax +1$ eli ne kertovat muuttujaa $x$ jollakin luvulla $a$ ja lisäävät tulokseen luvun $1$. Miten luku $1$ näkyy funktioiden kuvaajissa?
4. Pystytkö päättelemään kuvaajaa piirtämättä, millä korkeudella funktio $k(x) = x+4$ leikkaa $y$-akselin?

1. Piirrä laskimellasi samaan kuvaan funktioiden $f(x)=2x - 1$, $g(x) = 2x$ ja $h(x) = 2x+2$ kuvaajat.
2. Mitä yhteistä näiden funktioiden kuvaajilla on? Entä mitä eroa niillä on?
3. Kaikki tämän tehtävän funktiot ovat muotoa $x \mapsto 2x + b$ eli ne kertovat muuttujan $x$ kahdella ja lisäävät tulokseen luvun $b$. Miten kerroin $2$ näkyy funktioiden kuvaajissa?

1. Piirrä laskimellasi samaan kuvaan funktioiden $f(x)=-2x$ ja $g(x) = 2x$ kuvaajat.
2. Mitä yhteistä näiden funktioiden kuvaajilla on? Entä mitä eroa niillä on?
3. Miten voit päätellä kuvaajaa piirtämättä, onko funktion $h(x) = -3x+4$ kuvaaja nouseva vai laskeva suora?

Selitä omin sanoin, miten voit päätellä ensimmäisen asteen polynomifunktion $f(x) = ax+b$ lausekkeesta,

1. onko funktion kuvaaja nouseva vai laskeva suora
2. miten jyrkästi kuvaaja nousee tai laskee
3. missä kohdassa kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Voit tutkia edellisten tehtävien tuloksia tai piirtää vielä lisää ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia laskimellasi.

Tehtävänä on piirtää funktion $f(x) = -x+3$ kuvaaja ilman teknisiä apuvälineitä välillä $-3 \leq x \leq 6$.

1. Määritä jokin kuvaajan piste esimerkiksi laskemalla funktion $f$ arvo jossakin kohdassa välillä $-3 \leq x \leq 6$ tai muuten päättelemällä (voit hyödyntää edellisten tehtävien havaintoja).
2. Pystytkö piirtämään kuvaajan a-kohdan tiedon perusteella? Jos et, määritä jokin toinen kuvaajan piste samaan tapaan.
3. Pystytkö piirtämään kuvaajan a- ja b-kohtien perusteella? Määritä tarvittaessa lisää kuvaajan pisteitä kunnes pystyt piirtämään kuvaajan koko välillä $-3 \leq x \leq 6$.

1. Piirrä laskimellasi samaan kuvaan funktioiden $f(x)=2^x$, $g(x) = 3^x$ ja $h(x) = 0{,}5^x$ kuvaajat.
2. Mitä yhteistä näiden funktioiden kuvaajilla on? Entä mitä eroa niillä on? Tutki erityisesti kohtaa $x = 0$.
3. Selitä omin sanoin, miten kantaluku $a$ vaikuttaa eksponenttifunktion $F(x) = a^x$ kuvaajan ulkonäköön.

1. Piirrä laskimellasi samaan kuvaan funktioiden $f(x)=\log_2(x)$, $g(x) = \log_3(x)$ ja $h(x) = \log_{10}(x)$ kuvaajat.
2. Mitä yhteistä näiden funktioiden kuvaajilla on? Entä mitä eroa niillä on? Tutki erityisesti kohtaa $x = 1$.

1. Piirrä laskimellasi samaan kuvaan funktioiden $f(x)=\log_2(x)$, $g(x) = 2^x$ ja $h(x) = x$ kuvaajat.
2. Vertaa logaritmifunktion ja eksponenttifunktion kuvaajien sijaintia suhteessa kuvassa näkyvään suoraan. Mitä havaitset? Miten peili liittyy tähän tilanteeseen?
3. Tee vastaava piirros kuin a-kohdassa mutta vaihda kantaluvuksi luku $3$. Havaitsetko saman ilmiön kuin b-kohdassa?