Aloitamme tämän kappaleen tekemällä sopimuksen siitä, mitä tarkoitetaan, kun puhutaan luonnollisista luvuista. Tällaista sopimusta siitä, mitä jokin nimitys tarkoittaa, sanotaan matematiikassa määritelmäksi. Luonnollisten lukujen määritelmä siis kertoo, mitä luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan.

Luonnollisten lukujen määritelmästä on kaksi erilaista versiota. Tällä kurssilla käytetään edellä esitettyä määritelmää, jonka mukaan myös luku $0$ on luonnollinen luku. Joissakin kirjoissa käytössä on määritelmä, jossa luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan lukuja $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$. Siitä, kumpi määritelmä on parempi, ei ole päästy yksimielisyyteen.

Luonnollisia lukuja voidaan laskea yhteen ja kertoa keskenään, ja tulos on aina luonnollinen luku. Vähennyslaskun ja jakolaskun tulokset sen sijaan eivät välttämättä ole luonnollisia lukuja. Jotta kaikki vähennyslaskut voidaan laskea, täytyy siirtyä luonnollisten lukujen joukosta kokonaislukujen joukkoon.

Sovitaan seuraavaksi, mitä tarkoitetaan, kun puhutaan kokonaisluvuista:

Kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslaskua voi havainnollistaa lukusuoralla. Tarkastellaan aluksi summaa $3 + 4$ ja erotusta $3-4$. Luvun $4$ lisääminen vastaa lukusuoralla siirtymistä neljä yksikköä oikealle:

Luvun $4$ vähentäminen vastaa puolestaan siirtymistä neljä yksikköä vasemmalle:

Entä miten tulkitaan summa $3+(-4)$? Negatiivisen luvun lisääminen tulkitaan vähennyslaskuna: $$3+(-4) = 3-4.$$

Tämä on järkevä tulkinta myös siksi, että arkijärjenkin mukaan laskuista $3+4$ ja $3+(-4)$ täytyy tulla eri tulos. Jos lukuun $3$ lisätään luku $4$, liikutaan lukusuoraa oikealle. Jos lukuun $3$ lisätään luku $-4$, on tällöin loogista liikkua lukusuoraa vasemmalle.

Tarkastellaan vielä erotusta $3-(-4)$. Edellä todettiin, että jos lukuun $3$ lisätään luku $-4$, liikutaan lukusuoraa vasemmalle. Nyt luvusta $3$ vähennetään sama luku $-4$, joten on loogista liikkua lukusuoraa päinvastaiseen suuntaan eli oikealle. Negatiivisen luvun vähentäminen antaa siis saman tuloksen kuin positiviisen luvun lisääminen: $$3-(-4) = 3+4.$$

Kokonaislukujen joukossa kaikilla luvuilla on olemassa niin sanottu vastaluku. Seuraavassa määritelmässä sovitaan, mitä vastaluku tarkoittaa:

Vastaluvun avulla erotus voidaan muuttaa summaksi, sillä kuten edellä todettiin, vastaluvun lisääminen vastaa vähennyslaskua: $3-4 = 3+(-4)$. Toisaalta summa voidaan muuttaa erotukseksi, sillä vastaluvun vähentäminen vastaa yhteenlaskua: $3+4 = 3-(-4)$.

Myös kokonaislukujen kertolaskua voi havainnollistaa lukusuoralla. Esimerkiksi tuloja $2\cdot 3$ ja $2\cdot (-3)$ on havainnollistettu alla:

Entä miten päätellä sellaisten tulojen etumerkki, joissa ensimmäinen tulon tekijä on negatiivinen? Se onnistuu vastaluvun käsitteen avulla. Esimerkiksi tuloa $-2 \cdot 3$ voidaan ajatella edellä havainnollistetun tulon $2\cdot 3$ vastalukuna, joten $$-2 \cdot 3 = -6.$$ Tuloa $-2\cdot (-3)$ voidaan puolestaan ajatella edellä havainnollistetun tulon $2\cdot (-3)$ vastalukuna, joten $$-2\cdot (-3) = -(-6) = 6.$$

Kokonaislukujen summat, erotukset ja tulot ovat aina kokonaislukuja. Kahden kokonaisluvun osamäärä sen sijaan ei välttämättä ole kokonaisluku. Jotta kaikki jakolaskut voidaan laskea, täytyy siirtyä kokonaislukujen joukosta rationaalilukujen joukkoon.

Jos murtolukumuodossa esitettyjä rationaalilukuja lasketaan yhteen, pitää luvut ensin laventaa samannimisiksi. Tarkastellaan esimerkiksi summaa $$\dfrac{3}{8} + \frac{5}{6}.$$ Siinä esiintyviä lukuja voidaan havainnollistaa alla olevilla piirroksilla.

Ensimmäisessä suorakulmiossa sinisellä on väritetty kolme kahdeksasosaa koko suorakulmiosta. Toisessa suorakulmiossa sinisellä on väritetty viisi kuudesosaa koko suorakulmiosta.

Jaetaan ensimmäinen suorakulmio pystysuunnassa kuuteen osaan ja toinen suorakulmio vaakasuunnassa kahdeksaan osaan, jolloin tilanne näyttää tältä:

Näin kumpikin suorakulmio tulee jaetuksi $48$ osaan. Kuvioista voidaan laskea, että ensimmäisessä suorakulmiossa sinisellä on väritetty $\frac{18}{48}$ koko suorakulmiosta. Toisessa suorakulmiossa sinisellä on väritetty $\frac{40}{48}$ koko suorakulmiosta. Järjestetään palat uudelleen siirtämällä mahdollisimman monta väritettyä palaa ensimmäiseen suorakulmioon. Näin nähdään, että yhteensä sinisellä on väritetty yksi kokonainen suorakulmio ja lisäksi $\frac{10}{48}$ toisesta suorakulmiosta eli yhteensä $\frac{58}{48}$ yhden suorakulmion pinta-alasta.

Piirroksesta nähdään, että joka toinen vaakasuuntainen jakoviiva voidaan jättää pois:

Tulos voidaan siis ilmoittaa supistetussa muodossa $$\dfrac{29}{24}.$$

Edellä havaittiin piirroksen avulla, että $$\frac{58}{48} = \frac{29}{24}.$$ Tähän tulokseen päästään myös huomaamalla, että sekä osoittaja $58$ että nimittäjä $48$ ovat kahdella jaollisia. Voidaankin kirjoittaa $$\frac{58}{48} = \frac{2\cdot 29}{2 \cdot 24}.$$ Kahdella kertominen ja jakaminen kumoavat toisensa, joten ne voidaan supistaa pois: $$\frac{58}{48} = \frac{29}{24}.$$ Luku $29$ ei ole jaollinen millään ykköstä suuremmalla luvulla paitsi itsellään, joten supistamista ei voi jatkaa tämän pidemmälle.

Kun murtolukua kerrotaan kokonaisluvulla, voidaan tilanne palauttaa yhteenlaskuun. Esimerkiksi $$3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{2+2+2}{7} = \frac{3\cdot 2}{7} = \frac{6}{7}.$$

Tarkastellaan seuraavaksi tuloa $$\dfrac{3}{8} \cdot \frac{5}{6}$$ Tämä kertolasku voidaan tulkita niin, että otetaan kolme kahdeksasosaa luvusta $\frac{5}{6}$:

Ensimmäisessä suorakulmiossa sinisellä on väritetty viisi kuudesosaa koko suorakulmiosta. Toisessa suorakulmiossa tästä väritetystä alueesta on otettu kolme kahdeksasosaa, jolloin jäljelle on jäänyt $$\frac{15}{48}.$$

Jäljelle jääneet väritetyt palat voidaan järjestää uudelleen, jolloin huomataan, että pystysuuntaisia jakoviivoja voidaan vähentää:

Tulos voidaan siis ilmoittaa supistetussa muodossa $$\frac{5}{16}.$$

Tutkitaan vielä rationaalilukujen jakolaskua. Aloitetaan yksinkertaisesta tapauksesta: miten voi havainnollistaa jakolaskua $5:2$? Alla on kuvattu luku $5$ viitenä värillisenä neliönä.

Kun luku $5$ jaetaan kahdella, katsotaan, kuinka monta kahden neliön kokoista suorakulmiota näistä värillisistä neliöistä voidaan muodostaa:

Nähdään, että kahden neliön kokoisia suorakulmioita saadaan $2{,}5$. Siis $$\frac{5}{2} = 2{,}5.$$ Tarkastellaan seuraavaksi jakolaskua $$\dfrac{3}{8} : \frac{5}{6}$$ Toimitaan samaan tapaan kuin edellä. Katsotaan, kuinka monta viittä kuudesosaa voidaan muodostaa kolmesta kahdeksasosasta:

Ensimmäisessä suorakulmiossa sinisellä on väritetty kolme kahdeksasosaa koko suorakulmiosta. Yritetään täyttää väritetyllä alueella viisi kuudesosaa toisesta suorakulmiosta. Paloja järjestelemällä huomataan, että halutusta alueesta saadaan täytettyä $\frac{18}{40}$:

Väritetyt palat voidaan järjestää uudelleen, jolloin huomataan, että pystysuuntaisia jakoviivoja voidaan vähentää:

Tulos voidaan siis ilmoittaa supistetussa muodossa $$\frac{9}{20}.$$

Joskus murtolukujen yhteydessä esiintyy niin sanottuja sekalukuja. Esimerkiksi luku $\dfrac{7}{3}$ saatetaan ilmoittaa muodossa $$2\frac{1}{3}.$$ Tästä merkinnästä näkyy suoraan luvun kokonaisosa, joka on $2$. Sekaluku on oikeastaan lyhennysmerkintä summalle: $$2\frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.$$ Sekalukumuodossa annetut luvut kannattaakin aina muuttaa tavalliseen murtolukumuotoon ennen laskutoimituksia. Huomaa, että negatiivisen sekaluvun etumerkki vaikuttaa myös murtolukuosaan: \begin{align*} -7\frac{9}{10} &= -\left(7 + \frac{9}{10}\right) \\ &= -7 - \frac{9}{10} \\ &= -\frac{70}{10} - \frac{9}{10} \\ &= -\frac{79}{10}. \end{align*}

Rationaaliluvut voidaan murtolukumuodon lisäksi esittää desimaalimuodossa. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{3365}{673} &= 5 \\[2mm] \frac{45}{8} &= 5{,}625 \\[2mm] \frac{3}{22} &= 0{,}1363636363636\ldots \\ \end{align*} Rationaaliluvun desimaalimuoto voi siis olla päättyvä, tai päättymätön ja jaksollinen. Joillakin rationaaliluvuilla jakso on niin pitkä, että laskimen antama likiarvo näyttää jaksottomalta: esimerkiksi $$\frac{18}{295} = 0{,}061016949153\ldots$$ Voidaan kuitenkin osoittaa, että kaikki rationaalilukujen päättymättömät desimaalikehitelmät ovat jaksollisia.

Edes rationaaliluvut eivät riitä kaikkien asioiden mittaamiseen. Esimerkiksi alla kuvatun neliön, jonka sivun pituus on $1$, halkaisijan pituus $x$ on luku, jota ei voi esittää murtolukumuodossa.

Pythagoraan lauseen mukaan halkaisijan pituus saadaan yhtälöstä $$1^2 + 1^2 = x^2$$ eli $$x^2 = 2.$$ On kuitenkin mahdollista näyttää, että minkään rationaaliluvun toinen potenssi ei ole $2$. Tästä voidaan päätellä, että halkaisijan pituus $x$ ei ole rationaaliluku.

Sitä positiivista lukua, jonka toinen potenssi on $2$, merkitään $\sqrt{2}$. Edellä tarkasteltu halkaisijan pituus on siis $x = \sqrt{2}$. Sille voidaan laskea likiarvo: $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$.

Luku $\sqrt{2}$ on yksi esimerkki irrationaaliluvusta eli lukusuoran luvusta, jota ei voi esittää murtolukumuodossa. Muita irrationaalilukuja ovat esimerkiksi $\sqrt{3}$ ja $\pi$.

Rationaaliluvut ja irrationaaliluvut yhdessä muodostavat reaalilukujen joukon. Reaalilukujen joukkoa havainnollistetaan usein lukusuoralla, jonka jokainen piste esittää reaalilukua ja toisaalta jokaisella reaaliluvulla on vastinpisteensä.

Jokainen reaaliluku voidaan esittää desimaalimuodossa ainakin yhdellä tavalla. Kuten aikaisemmin todettiin, rationaalilukujen desimaalikehitelmät ovat päättyviä, tai päättymättömiä ja jaksollisia. Irrationaalilukujen desimaalikehitelmät puolestaan ovat päättymättömiä ja jaksottomia.

Jotta laskutoimituksia yhdistettäessä ei tarvittaisi valtavaa määrää sulkuja laskujärjestyksen osoittamiseksi, on sovittu peruslaskutoimitusten laskujärjestys, jota kaikki reaaliluvut noudattavat. Miten sen mukaan lasketaan esimerkiksi seuraavan lausekkeen arvo? $$7-6^2:4 \cdot 2 + (3-8)^2 \cdot 9 +1$$ Laskujärjestys on seuraava:

1. Ensimmäisenä lasketaan sulkulausekkeet. Jos lausekkeessa on useita sulkeita, laskeminen aloitetaan sisimmistä sulkeista ja edetään ulospäin. Esimerkkilausekkeemme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-6^2:4 \cdot 2 + (-5)^2 \cdot 9 +1.$$
2. Seuraavaksi lasketaan potenssit. Esimerkkilausekkeemme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-36:4 \cdot 2 + 25 \cdot 9 +1.$$
3. Tämän jälkeen lasketaan kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle. Esimerkkilausekkeemme näyttää tämän vaiheen jälkeen seuraavalta: $$7-18 + 225 +1.$$
4. Viimeisenä lasketaan yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle. Vastaukseksi saamme siis $$215.$$

Reaalilukujen yhteenlaskun tutut ominaisuudet on nimetty seuraavasti:

• Vaihdannaisuus tarkoittaa, että yhteenlaskettavien järjestyksen voi vaihtaa: $$a + b = b + a.$$
• Liitännäisyys tarkoittaa, että peräkkäiset yhteenlaskut voi suorittaa yhtä hyvin järjestyksessä vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle: $$(a + b)+c = a + (b + c).$$ Koska tulos on sama riippumatta siitä, miten sulut on asetettu, ne voidaan myös jättää kokonaan pois.
• Osittelulain mukaan sulut voidaan kertoa auki tai voidaan erottaa yhteinen tekijä: $$a(b+c) = ab + ac.$$